Langsung ke konten utama

Makalah Derivatif


MAKALAH DERIVATIF





Disusun oleh :

Nama : Hamidah
Kelas : 2EA01





FAKULTAS EKONOMI
UNIVERSITAS GUNADARMA
2014











KATA PENGANTAR


Puji syukur penulis panjatkan kepada kehadirat Allah SWT atas rahmat, hidayah, dan karunia yang diberikan-Nya, sehingga dapat menyelesaikan makalah ini tepat pada waktunya. Makalah ini berjudul “Derivatif”. Adapun maksud dan tujuan dari penyusunan makalah ini adalah sebagai syarat tes menjadi assisten laboratorium manajemen dasar, selain itu juga untuk lebih memperluas pengetahuan para mahasiswa khususnya bagi penulis.
Penulis telah berusaha menyusun makalah ini dengan baik, namun penulis pun menyadari kesalahan dan kealfaan, karya tulis ilmiah ini jauh dari kata sempurna. Namun berkat arahan, bimbingan, dan bantuan dari berbagai pihak sehingga karya tulis ilmiah ini dapat diselesaikan. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan arahan dan bimbingan.

                                                                                                                   













Jakarta, 7 November 2014

                                                                                                        Penulis







DERIVATIF

1.      KONSEP DASAR TURUNAN

Turunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan.

Langkah-langkah untuk mencari turunan pertama ialah:
(1)   Tentukan kenaikan x dan y untuk memperoleh
y +  f(x +
(2)   Kurangkan y = f(x) dari hasil butir (1) itu untuk memperoleh
 = f(x +  f(x)
(3)   Bagi rumusan butir (2) dengan untuk memperoleh hasil bagi diferensiasi
=
(4)   Tentukan limit dari hasil bagi diferensiasi itu ketika  0, sehingga diperoleh turunan pertama :

2.      KAIDAH DIFERENSIASI

Secara umum, membentuk turunan sebuah fungsi dapat dilakukan dengan cara terlebih dahulu menemukan koesien diferensiasinya, kemudian menentukan limit kuosien diferensi tersebut untuk pertambahan variable bebas mendekati nol. Berikut ini disajikan sejumlah kaidah yang dapat digunakan untuk menurunkan berbagai bentuk fungsi tertentu.

1.      Diferensiasi fungsi konstanta
Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y’= 0
Contoh : y = 5, maka y’ = 0
2.      Diferensiasi fungsi pangkat
Jika y = xāæ, dan n adalah konstanta, maka y’= n
Contoh :
y =  maka y’ = 3 x3-1 = 3 x²
3.      Diferensiasi perkalian
-Perkalian fungsi dan konstanta
Jika y = kv dan v = h (x) maka y’ = k  
Contoh : y = 5 x³, maka y’ = 5 ( 3x² ) = 15 x²
-Perkalian fungsi
Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x)
maka y’ = u  + v  
Contoh : y = (4x²) (x³)
misalkan u = 4 x² → y’ = 8 x
v = x³ → y’ = 3 x²
maka y’ = u  + v   = (4x²) (3x²) + (x³)(8x)
=  + 8x4
=

4.      Diferensiasi penjumlahan / pengurangan fungsi
Jika y = u ± v, dimana u = g (x) dan v = h(x),
maka y’ =  ±  
Contoh :
y = 4 x² + x³ misalkan u = 4 x² → š‘‘š‘¢/š‘‘š‘„ = 8x
v = x³ → š‘‘š‘£/š‘‘š‘„ = 3 x² , maka y’ = 8x + 3x²
5.      Diferensiasi fungsi linear
Jika y = a + bx, dimana a adalah kontanta, maka y’ = b
Contoh :
y = 25+ 12x maka y’ = 12
6.      Diferensiasi hasil bagi fungsi
Jika y = U/V , dimana U = g (x) dan V = h (x)
maka y’=
Contoh :
y = (4x²)
y’=

y’ =  
=  
=
= – 4
7.      Diferensiasi fungsi komposit
Jika y = f(u) sedangkan u = g(x), dengan kata lain y = f {g(x)}
maka y’ =  .
Contoh :
y = (4x³ + 5)²
misalkan u = 4x³ + 5 → š‘‘š‘¢/š‘‘š‘„ = 12x²
y = u² → š‘‘š‘¦/š‘‘š‘¢ = 2u
maka y’ =  .  = 2u  (12x²)
= 2(4x³ + 5)  (12x²)
= 96  + 120 x²
8.      Diferensiasi implisit
Jika f(x,y) = 0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak mungkin di eksplisitkan), dy/dx dapat diperoleh dengan mendiferensiasikannya suku demi suku, dengan menganggap y sebagai fungsi dari x.

Contoh :
4x  -  +2y = 0, tentukan dy/dx !
8 xy  + 4  - 2x + 2  = 0
(8 xy +2 )  = 2x - 4
=  =


9.      Diferensiasi fungsi berpangkat
Jika y = uāæ , dimana u = g (x) dan n adalah konstanta, maka š‘‘š‘¦š‘‘š‘„ = nu n-1 * š‘‘š‘¢š‘‘š‘„
Contoh : y = (4x³ + 5)²
misalkan u = 4x³ + 5 → š‘‘š‘¢š‘‘š‘„ = 12x² dan y = u²
Maka š‘‘š‘¦š‘‘š‘„ = nu n-1 * š‘‘š‘¢š‘‘š‘„
= 2 (4x³ + 5)(2-1)*12x²
= 96 x5 + 120 x²
10.  Diferensiasi fungsi eksponensial
y =    =

y =  =


3.      HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA
3.1  Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis normal
Langkah langkah untuk mencari Garis singgung dan Garis normal adalah :
1.      Tentukan titik singgung (xo,yo)
2.      Cari koefesien arah m=f’ (x)
3.      Cari Garis singgung dengan rumus ; y – yo = m (x – xo)
4.      Cari Garis normal dengan rumus : y – yo =  (x – xo)
Catatan : Garis normal adalah garis yang tegak lurus pada Garis singgung.
3.2  Menentukan keadaan Fungsi menaik dan Fungsi menurun
1.      Fungsi y = f (x) menonton naik jika f’(x) > 0
2.      Fungsi y = f (x) menonton turun jika f’ (x) < 0
3.      Nilai stasioner
Jika diketahui y = f (x), maka pada f (x) = 0 , titik  (x,y) merupakan nilai stasioner.
Jenis jenis titik stasioner adalah
- jika f (x) > 0 maka  (x,y) merupakan titik balik minimum
- jika f (x) < 0 maka  (x,y) merupakan titik balik maksimum
- jika f (x) = 0 maka  (x,y) merupakan titik balik belok
Contoh soal :
Diketahui TR = 200Q + 10 , tentukanlah nilai maksimum atau minimum dari fungsi tersebut!
Jawab:
TR’ = 0
200 – 20Q = 0
20Q = 200 jadi Q = 10
TR’’= - 10 (TR’’ < 0, merupakan titik balik maksimum)
Nilai maksimum TR = 200Q – 10 = 200(10) -10  = 1000
4. PENERAPAN EKONOMI
4.1 ELASTISITAS HARGA
Adalah perbandingan antara perubahan relative dari jumlah dengan  perubahan relative dari harga.
Untuk menentukan elastisitas harga , ada 2 macam cara yang digunakan, yaitu :
1 Elastisitas Titik ( Point Elasticity)
 =  .
2 Elastisitas busur ( Arc Elastisity )
Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitasnya pada busur kurva.
E =  .
E =  .
E =  .
Elastisitas titik dan busur dipakai untuk menghitung :
a.       Elastisitas harga permiintaan, Ed < 0 (negative)
b.      Elastisitas harga penawaran, Es > 0 ( positif)
Dari hasil perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukan :
a.       |E| >1 = Elastis
b.      |E| < 1 = Inelasis
c.       |E| = 1 = Unitary elastic
d.      |E| = 0 = Inelastis sempurna
e.       |E| =  = Elastis tak hingga
4.2 ELASTISITAS PERMINTAAN
Adalah koefesien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang akan diminta akibat adanya perubahan harga. Jadi merupakan rasio antara presentase perubahan jumlah barang yang dimnta terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan  f(P) , maka elastisitas permintaannya :
Ed = Qd’ .
Contoh soal :
Fungsi permintaaan suatu barang akan ditunjukan oleh persamaan 25 - 3 . Tentukan elastisitas permintaanya pada tingkat harga P = 5 !
Diket :
25 - 3  => Qd’ = -6P
P = 5
Ditanya :
Ed ?
Jawab :
Ed = Qd’ .
Ed = -6P .
Ed = -6(5) .
Ed = 3 => elastis
Analisis , jadi besranya elastisitas permintaan = 3, dari kedudukan  P = 5, harga naik (turun) sebesar 1 % maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah ) sebanyak 3%.

4.3 ELASTISITAS PENAWARAN
Elastisitas penawaran ( istilah yang lengkap : elastisitas harga penawaran, price elasticity of supply) ialah suatu koefesien yang emnjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perbahan harga. Jadi merupakan rasio anatara persentase perubahan jumlah barnag yang ditawarkan terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatajkan dengan   f(P) , maka elastisitas penawaranya :
Es = Qs’ .
Contoh soal :
Fungsi penawaran suatu barang dicerminkan oleh  . Berapa elastisitas penawarannya pada tingkat harga P =10 !
Diketahui  :
                    Q’= 14P
                    P = 10
Ditanya : Es ?
Jawab:
Es = Qs’ .
Es = 14 P .
Es = 140 .
Es = 2,8 => elastis


4.4 ELASTISITAS PRODUKSI
Elastisitas produksi ialah suatu koefesien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah masukan. Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan sedangkan X melambangkan faktor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(X), maka elasitisitas produksinya :
Ed = P’ . 
Contoh soal :
Fungsi produksi suatu barang ditujukan oleh persamaan P =  - . Hitunglah elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan faktor produksi sebanyak 3 unit!
Diketahui : P =  -
                  P’ = 12 X –
                  X = 3
Ditanya : Ep ?
Jawab :
Ed = P’ . 
Ep = (12 X –  .
Ep = (36 – 27) .
Ep = 1

4.5 BIAYA
A. Biaya Total ( TC)
Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau memasarkan sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap atau biaya variabel.
TC = F(Q) atau TC = FC + VC
Dimana :
TC = Total cost
VC = Variabel cost
FC = Fixed cost
Q = Quantitas

B. Biaya Rata Rata
Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang atau jasa pada tingkat produksi tertentu.
AC = TC/ Q
C. Biaya Marginal
Adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk. Secara matematik, fungsi biaya marginal merupakan derivatif pertama dari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya total dinyatakan dengan C = f (Q) dimana C  adalah biaya total dan Q melambangkan jumlah produk, maka biaya marginalnya :
MC = TC’ = 
Contoh soal :
Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan AKU ditunjukan oleh persamaan TC = 25 . Tentukan besarnya biaya total, biaya ratarata, dan biaya marginal pada saat kuantitas 5 unit.
Diketahui :
TC = 25
Q = 5
Ditanya :
TC,AC,dan MC pada Q = 5 ?
Jawab :
a.       TC =25
TC = 3.125 + 250 – 75 + 17
TC = 3.317
b.      AC = TC/Q
AC = 3.317 / 5
AC = 663,4

c.       MC = TC’
MC =  + 20Q – 15
MC =  + 20(5) -15
MC = 1.875 + 100 -15
MC = 1.960

4.6 PENERIMAAN
A. Penerimaan Total
Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi.
TR= F(Q) = P . Q
B. Penerimaan Rata Rata
Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang atau jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi average revenue sama dengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut.
AR =   =    = P

C. Penerimaan Marginal
Penerimaan marginal(marginal revenue, MR) adalh suatu penerimaan tambahan yang diperoleh berkenaan bertanmbahnya satu unit keluaran yang diproduksi atau terjual. Secara matematik, fungsi penerimaan marginal merupakan derivatif pertama dari fungsi penerimaan total. Jika fungsi penerimaan total dinyatakan dengan R = f(Q) dimana R melambangkan penerimaan total dan Q adalah jumlah keluaran, maka penerimaan marginalnya :
MR = TR’ =

Contoh soal :
Fungi permintaan perusahaan AKU ditujukan oleh P = 25Q + 5. Bagaimanakah persamaan penerimaan totalnya? Berapakah besarnya penerimaan total, penerimaan rata rata, penerimaan marginal jika penjualan sebesar 5 unit?
Diketahui :
P = 25Q + 5
Q = 5
Ditanya :
Persamaan TR ?
Besarnya TR,AR, dan MR pada saat Q = 5?
Jawab :
a.       TR = P x Q
TR = (25Q + 5) Q
TR =  + 5Q
b.      Jika Q = 5, maka :
1.      TR =  + 5(5)
      TR = 625 + 25
      TR = 650

2.      AR = TR/Q
AR = 650 / 5 = 130
3.      MR = TR’
MR = 50 Q + 5
MR = 50(5) + 5
MR = 250 + 5
MT = 255

4.7 LABA MAKSIMUM
Terdapat 3 pendekatan perhitungan laba maksimum :
1.      Pendekatan totalitas ( Totality Approach)
2.      Pendekatan rata rrata ( Average Approach)
3.      Pendekatan marginal ( Marginal Approach)
Perhitungan laba maksimum dilakukan dengan membandingkan Biaya Marginal 
(MC) dab Pendapatan Marginal (MR). Laba maksimum akan tercapai pada saat MR=MC.

Laba ( = TR- TC. Laba maksimum tercapai bila turunan pertama fungsi (  sama dengan nol (0) dan nilainya sama dengan turunan pertama TC ( atau MC) sehingga MR – MC = 0. Dengan demikian, perusahaan akan memperoleh laba maksimum( atau kerugian minimum) bila ia memproduksi pada tingkay output dimana MR = MC.
Contoh soal :
Fungsi permintaan suatu barang ditunjukan oleh persamaan P = -150Q + 10.000 dengan biaya variabel VC = 10 - 1.000Q. Biaya tetap yang dikeluarkan perusahaan sebesar 20.000. Tentukan pada tingkat penjualan berapa perusahaan bisa mendapatkan laba maksimum dan berapakah besarnya laba tersebut !
Diketahui :
TC = VC+FC = 10 - 1.000Q + 20.000
TR = P x Q =  -150 - 10.000Q
Ditanya ;
Q pada saat laba maksimum?
Jawab :
Laba / rugi = TR-TC
                  = (-150 - 10.000Q) – (10 - 1.000Q + 20.000)
                  = -160 + 11.000Q – 20.000
Laba maksimum Ć   laba’ = 0
                -320Q + 11.000 =  0
                                320Q = 11.000
   Q = 14,375 = 14
Saat Q = 14Ć  Laba = -160 + 11.000Q – 20.000
                              =-160 + 11.000(14) – 20.000
                              =165.360
Jadi untuk mendapatkan laba maksimum perusahaan harus menjual produknya sebanyak 14 unit sehingga keuntungan yang ia dapatkan sebesar Rp. 165.360.
























      


DAFTAR PUSTAKA

Dumairy. 1995. Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi , Edisi Kedua. Yogyakarta:BPFE.
Insukindro. 1985. Soal Jawab Matematika Ekonomi dan Bisnis. Yogyakarta: BPFE.
Modul Matematika Ekonomi 2. Lab. Manajemen Dasar Periode ATA 2013/2014.
Universitas Gunadarma, Buku Diktat Matematika Ekonomi, 1994








Komentar

Postingan populer dari blog ini

Pengaruh aspek Ketahanan Nasional pada kehidupan berbangsa dan bernegara,keberhasilan Ketahanan Nasional Indonesia

Pengaruh Aspek Ketahanan Nasional Pada Kehidupan Berbangsa Dan Bernegara.
Berdasarkan pemahaman tentang hubungan tersebut diperoleh gambaran bahwa konsepsi ketahanan nasional akan menyangkut hubungan antar aspek yang mendukung kehidupan yaitu: 1)Aspek yang berkaitan dengan alamiah yang bersifat statis, meliputi aspek geografi, kependudukan, dan sumber daya alam. 2) Aspek yang berkaitan dengan sosial yang bersifat dinamis meliputi aspek ideologi, politik, ekonomi, sosial budaya dan hanka 1.Pengaruh Aspek Ideologi Secara teori, suatu ideologi berasal dari aliran pikiran dan merupakan pelaksanaan dari sistem pemikiran itu sendiri. a.Ideologi pancasila Pancasila merupakan kesatuan yang utuh sehingga pemahaman dan pengamalannya harus mencakup semua nilai yang terkandung didalamnya. b.Ketahanan pada aspek ideologi Ketahanan ideologi diartikan sebagai kondisi dinamik kehidupan ideologi bangsa indonesia yang berisi keuletan dan ketangguhan yang mengandung kemampuan kekuatan nasional dalam menghadapi d…

Karya Ilmiah Kekerasan Terhadap Kaum Perempuan

BABI PENDAHULUAN
1.1Penegasan Mengenai Judul
Karya ilmiah yang berjudul “Kekerasan Terhadap Kaum Perempuan” menurut KBBI (Kamus Besar Bahasa Indonesia) mempunyai arti sebagai berikut : Kekerasan : Perbuatan seseorang yang menyebabkan cidera atau matinyaorang lain atau menyebabkan kerusakan fisik atau barang orang lain. Terhadap: Kata depan untuk menandai arah. Kaum: Golongan (sepaham, sepangkat, dsb) Perempuan :Orang (manusia) yang mempunyai puki, dapat menstruasi, hamil, melahirkan anak, dan menyusui.
1.2Alasan Pemilihan Judul
Kekerasan terhadap perempuan pada dasarnya merupakan kekerasan dimana yang menjadi korbannya adalah perempuan baik di lingkungan rumah tangga maupun di luar lingkungan rumah tangga. Berbagai jenis kekerasan terhadap perempuan, seperti perkosaan, pelacuran, pornografi, pelecehan seksual, dan lain sebagainya. Yang lebih menyedihkan kasus tersebut dari waktu ke waktu terus meningkat. Korban KDRT yang cukup menonjol berdasarkan data Komnas Perempuan adalah kekerasan terhad…