MAKALAH
DERIVATIF
Disusun
oleh :
Nama
: Hamidah
Kelas
: 2EA01
FAKULTAS
EKONOMI
UNIVERSITAS
GUNADARMA
2014
KATA PENGANTAR
Puji
syukur penulis panjatkan kepada kehadirat Allah SWT atas rahmat, hidayah, dan
karunia yang diberikan-Nya, sehingga dapat menyelesaikan makalah ini tepat pada
waktunya. Makalah ini berjudul “Derivatif”. Adapun maksud dan tujuan dari
penyusunan makalah ini adalah sebagai syarat tes menjadi assisten laboratorium
manajemen dasar, selain itu juga untuk lebih memperluas pengetahuan para
mahasiswa khususnya bagi penulis.
Penulis
telah berusaha menyusun makalah ini dengan baik, namun penulis pun menyadari
kesalahan dan kealfaan, karya tulis ilmiah ini jauh dari kata sempurna. Namun
berkat arahan, bimbingan, dan bantuan dari berbagai pihak sehingga karya tulis
ilmiah ini dapat diselesaikan. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis
menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan arahan dan
bimbingan.
Jakarta, 7 November 2014
Penulis
DERIVATIF
1. KONSEP DASAR TURUNAN
Turunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan
dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan.
Langkah-langkah untuk mencari turunan pertama ialah:
(1) Tentukan kenaikan x dan y untuk memperoleh
y +
f(x +
(2)
Kurangkan
y = f(x) dari hasil butir (1) itu untuk memperoleh
(3)
Bagi
rumusan butir (2) dengan
untuk
memperoleh hasil bagi diferensiasi
(4)
Tentukan
limit dari hasil bagi diferensiasi itu ketika
0, sehingga diperoleh turunan pertama :
2.
KAIDAH DIFERENSIASI
Secara umum, membentuk
turunan sebuah fungsi dapat dilakukan dengan cara terlebih dahulu menemukan
koesien diferensiasinya, kemudian menentukan limit kuosien diferensi tersebut
untuk pertambahan variable bebas mendekati nol. Berikut ini disajikan sejumlah
kaidah yang dapat digunakan untuk menurunkan berbagai bentuk fungsi tertentu.
1.
Diferensiasi fungsi konstanta
Jika y = k, dimana k adalah
konstanta, maka y’= 0
Contoh : y = 5, maka y’ = 0
2.
Diferensiasi fungsi pangkat
Jika y = xⁿ, dan n adalah
konstanta, maka y’= n
Contoh :
y = x³ maka
y’ = 3 x3-1 = 3 x²
3.
Diferensiasi perkalian
-Perkalian fungsi dan konstanta
Jika y = kv dan v =
h (x) maka y’ = k
Contoh : y = 5 x³, maka y’ = 5
( 3x² ) = 15 x²
-Perkalian
fungsi
Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v =
h(x)
maka y’ = u
+ v
Contoh : y = (4x²) (x³)
misalkan u = 4 x² → y’ = 8 x
v = x³ → y’ = 3 x²
maka y’ = u
+ v
= (4x²)
(3x²) + (x³)(8x)
=
+ 8x4
=
4.
Diferensiasi penjumlahan / pengurangan fungsi
Jika y = u ± v, dimana u = g
(x) dan v = h(x),
maka y’ =
±
Contoh :
y = 4 x² + x³ misalkan u = 4 x² → 𝑑𝑢/𝑑𝑥 = 8x
v = x³ → 𝑑𝑣/𝑑𝑥 = 3 x² , maka y’ = 8x + 3x²
5.
Diferensiasi
fungsi linear
Jika y = a + bx, dimana a adalah
kontanta, maka y’ = b
Contoh :
y = 25+ 12x maka y’ = 12
6.
Diferensiasi
hasil bagi fungsi
Jika y = U/V , dimana U = g (x) dan V = h (x)
maka y’=
Contoh :
y = (4x²)
y’=
y’ =
=
=
= – 4
7.
Diferensiasi fungsi komposit
Jika y = f(u) sedangkan u = g(x), dengan
kata lain y = f {g(x)}
maka y’ =
.
Contoh :
y = (4x³ + 5)²
misalkan u = 4x³ + 5 → 𝑑𝑢/𝑑𝑥 = 12x²
y = u² → 𝑑𝑦/𝑑𝑢 = 2u
maka
y’ =
.
= 2u (12x²)
= 2(4x³ + 5) (12x²)
= 96
+ 120 x²
8.
Diferensiasi
implisit
Jika f(x,y) = 0 merupakan fungsi
implisit sejati (tidak mungkin di eksplisitkan), dy/dx dapat diperoleh dengan
mendiferensiasikannya suku demi suku, dengan menganggap y sebagai fungsi dari
x.
Contoh :
4x
-
+2y = 0, tentukan dy/dx !
8 xy
+ 4
- 2x + 2
= 0
(8 xy +2 )
= 2x - 4
9.
Diferensiasi fungsi berpangkat
Jika y = uⁿ , dimana u = g (x) dan n adalah konstanta, maka 𝑑𝑦𝑑𝑥 = nu n-1
* 𝑑𝑢𝑑𝑥
Contoh : y = (4x³ + 5)²
misalkan u = 4x³ + 5 → 𝑑𝑢𝑑𝑥 = 12x² dan y =
u²
Maka 𝑑𝑦𝑑𝑥 = nu n-1
* 𝑑𝑢𝑑𝑥
= 2 (4x³ + 5)(2-1)*12x²
= 96 x5 + 120 x²
10. Diferensiasi fungsi eksponensial
y =
=
y =
=
3.
HUBUNGAN ANTARA
FUNGSI DAN DERIVATIFNYA
3.1 Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis normal
Langkah langkah untuk mencari Garis
singgung dan Garis normal adalah :
1.
Tentukan
titik singgung (xo,yo)
2.
Cari
koefesien arah m=f’ (x)
3.
Cari
Garis singgung dengan rumus ; y – yo = m (x – xo)
4.
Cari
Garis normal dengan rumus : y – yo =
(x – xo)
Catatan : Garis
normal adalah garis yang tegak lurus pada Garis singgung.
3.2 Menentukan keadaan Fungsi menaik dan Fungsi menurun
1.
Fungsi
y = f (x) menonton naik jika f’(x) > 0
2.
Fungsi
y = f (x) menonton turun jika f’ (x) < 0
3.
Nilai
stasioner
Jika
diketahui y = f (x), maka pada f (x) = 0 , titik (x,y) merupakan nilai stasioner.
Jenis
jenis titik stasioner adalah
-
jika f (x) > 0 maka (x,y) merupakan
titik balik minimum
-
jika f (x) < 0 maka (x,y) merupakan
titik balik maksimum
-
jika f (x) = 0 maka (x,y) merupakan
titik balik belok
Contoh
soal :
Diketahui
TR = 200Q + 10
,
tentukanlah nilai maksimum atau minimum dari fungsi tersebut!
Jawab:
TR’
= 0
200
– 20Q = 0
20Q
= 200 jadi Q = 10
TR’’=
- 10 (TR’’ < 0, merupakan titik balik maksimum)
Nilai
maksimum TR = 200Q – 10
=
200(10) -10
= 1000
4. PENERAPAN EKONOMI
4.1 ELASTISITAS HARGA
Adalah
perbandingan antara perubahan relative dari jumlah dengan perubahan relative dari harga.
Untuk
menentukan elastisitas harga , ada 2 macam cara yang digunakan, yaitu :
1
Elastisitas Titik ( Point Elasticity)
2
Elastisitas busur ( Arc Elastisity )
Merupakan
elastisitas pada dua titik atau elastisitasnya pada busur kurva.
E
=
.
E
=
.
E
=
.
Elastisitas
titik dan busur dipakai untuk menghitung :
a.
Elastisitas
harga permiintaan, Ed < 0 (negative)
b.
Elastisitas
harga penawaran, Es > 0 ( positif)
Dari
hasil perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukan :
a.
|E|
>1 = Elastis
b.
|E|
< 1 = Inelasis
c.
|E|
= 1 = Unitary elastic
d.
|E|
= 0 = Inelastis sempurna
e.
|E|
=
= Elastis tak hingga
4.2 ELASTISITAS PERMINTAAN
Adalah
koefesien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang akan diminta
akibat adanya perubahan harga. Jadi merupakan rasio antara presentase perubahan
jumlah barang yang dimnta terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi
permintaan dinyatakan dengan
f(P) , maka elastisitas permintaannya :
Ed
= Qd’ .
Contoh
soal :
Fungsi
permintaaan suatu barang akan ditunjukan oleh persamaan
25
- 3
.
Tentukan elastisitas permintaanya pada tingkat harga P = 5 !
Diket
:
P
= 5
Ditanya
:
Ed
?
Jawab
:
Ed
= Qd’ .
Ed
= -6P .
Ed
= -6(5) .
Ed
= 3 => elastis
Analisis
, jadi besranya elastisitas permintaan = 3, dari kedudukan P = 5, harga naik (turun) sebesar 1 % maka
jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah ) sebanyak 3%.
4.3 ELASTISITAS PENAWARAN
Elastisitas
penawaran ( istilah yang lengkap : elastisitas harga penawaran, price
elasticity of supply) ialah suatu koefesien yang emnjelaskan besarnya perubahan
jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perbahan harga. Jadi merupakan
rasio anatara persentase perubahan jumlah barnag yang ditawarkan terhadap
persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatajkan dengan
f(P) , maka elastisitas penawaranya :
Es
= Qs’ .
Contoh
soal :
Fungsi
penawaran suatu barang dicerminkan oleh
.
Berapa elastisitas penawarannya pada tingkat harga P =10 !
Diketahui :
Q’= 14P
P = 10
Ditanya
: Es ?
Jawab:
Es
= Qs’ .
Es
= 14 P .
Es
= 140 .
Es
= 2,8 => elastis
4.4 ELASTISITAS PRODUKSI
Elastisitas
produksi ialah suatu koefesien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah
keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan
(input) yang digunakan. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan
jumlah jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah masukan. Jika P
melambangkan jumlah produk yang dihasilkan sedangkan X melambangkan faktor
produksi yang digunakan, dan fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(X), maka
elasitisitas produksinya :
Ed
= P’ .
Contoh
soal :
Fungsi
produksi suatu barang ditujukan oleh persamaan P =
-
.
Hitunglah elastisitas produksinya pada tingkat penggunaan faktor produksi
sebanyak 3 unit!
Diketahui
: P =
-
P’ = 12 X –
X = 3
Ditanya
: Ep ?
Jawab
:
Ed
= P’ .
Ep
= (12 X –
.
Ep
= (36 – 27) .
Ep
= 1
4.5 BIAYA
A. Biaya Total ( TC)
Adalah
seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau memasarkan sejumlah barang
atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap atau biaya variabel.
TC
= F(Q) atau TC = FC + VC
Dimana
:
TC
= Total cost
VC
= Variabel cost
FC
= Fixed cost
Q
= Quantitas
B. Biaya Rata Rata
Adalah
biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang atau jasa pada
tingkat produksi tertentu.
AC
= TC/ Q
C. Biaya Marginal
Adalah
biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk.
Secara matematik, fungsi biaya marginal merupakan derivatif pertama dari fungsi
biaya total. Jika fungsi biaya total dinyatakan dengan C = f (Q) dimana C adalah biaya total dan Q melambangkan jumlah
produk, maka biaya marginalnya :
MC
= TC’ =
Contoh
soal :
Biaya
total yang dikeluarkan oleh perusahaan AKU ditunjukan oleh persamaan TC = 25
.
Tentukan besarnya biaya total, biaya ratarata, dan biaya marginal pada saat
kuantitas 5 unit.
Diketahui
:
TC
= 25
Q
= 5
Ditanya
:
TC,AC,dan
MC pada Q = 5 ?
Jawab
:
a.
TC
=25
TC
= 3.125 + 250 – 75 + 17
TC
= 3.317
b.
AC
= TC/Q
AC = 3.317 / 5
AC = 663,4
c.
MC
= TC’
MC =
+ 20Q – 15
MC =
+ 20(5) -15
MC = 1.875 + 100 -15
MC = 1.960
4.6 PENERIMAAN
A. Penerimaan Total
Adalah total hasil
penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi.
TR= F(Q) = P . Q
B. Penerimaan Rata Rata
Adalah hasil dari
penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang atau jasa pada
kuantitas tertentu. Fungsi average revenue sama dengan fungsi permintaan dari
harga barang tersebut.
AR
=
=
= P
C. Penerimaan Marginal
Penerimaan
marginal(marginal revenue, MR) adalh suatu penerimaan tambahan yang diperoleh
berkenaan bertanmbahnya satu unit keluaran yang diproduksi atau terjual. Secara
matematik, fungsi penerimaan marginal merupakan derivatif pertama dari fungsi
penerimaan total. Jika fungsi penerimaan total dinyatakan dengan R = f(Q)
dimana R melambangkan penerimaan total dan Q adalah jumlah keluaran, maka
penerimaan marginalnya :
MR = TR’ =
Contoh soal :
Fungi permintaan
perusahaan AKU ditujukan oleh P = 25Q + 5. Bagaimanakah persamaan penerimaan
totalnya? Berapakah besarnya penerimaan total, penerimaan rata rata, penerimaan
marginal jika penjualan sebesar 5 unit?
Diketahui :
P = 25Q + 5
Q = 5
Ditanya :
Persamaan TR ?
Besarnya TR,AR, dan MR
pada saat Q = 5?
Jawab :
a.
TR
= P x Q
TR = (25Q + 5) Q
TR =
+ 5Q
b.
Jika
Q = 5, maka :
1.
TR
=
+ 5(5)
TR = 625 + 25
TR = 650
2.
AR
= TR/Q
AR = 650 / 5 = 130
3.
MR
= TR’
MR = 50 Q + 5
MR = 50(5) + 5
MR = 250 + 5
MT = 255
4.7 LABA MAKSIMUM
Terdapat 3 pendekatan
perhitungan laba maksimum :
1.
Pendekatan
totalitas ( Totality Approach)
2.
Pendekatan
rata rrata ( Average Approach)
3.
Pendekatan
marginal ( Marginal Approach)
Perhitungan laba
maksimum dilakukan dengan membandingkan Biaya Marginal
(MC) dab Pendapatan Marginal (MR). Laba maksimum akan tercapai pada saat MR=MC.
Laba (
=
TR- TC. Laba maksimum tercapai bila turunan pertama fungsi (
sama dengan nol (0) dan nilainya sama dengan
turunan pertama TC (
atau
MC) sehingga MR – MC = 0. Dengan demikian, perusahaan akan memperoleh laba
maksimum( atau kerugian minimum) bila ia memproduksi pada tingkay output dimana
MR = MC.
Contoh soal :
Fungsi permintaan suatu
barang ditunjukan oleh persamaan P = -150Q + 10.000 dengan biaya variabel VC =
10
-
1.000Q. Biaya tetap yang dikeluarkan perusahaan sebesar 20.000. Tentukan pada
tingkat penjualan berapa perusahaan bisa mendapatkan laba maksimum dan
berapakah besarnya laba tersebut !
Diketahui :
TC = VC+FC = 10
-
1.000Q + 20.000
TR = P x Q = -150
-
10.000Q
Ditanya ;
Q pada saat laba
maksimum?
Jawab :
Laba / rugi = TR-TC
= (-150
-
10.000Q) – (10
-
1.000Q + 20.000)
= -160
+
11.000Q – 20.000
Laba maksimum à
laba’ = 0
-320Q + 11.000
= 0
320Q = 11.000
Q = 14,375 = 14
Saat Q = 14à Laba = -160
+
11.000Q – 20.000
=-160
+
11.000(14) – 20.000
=165.360
Jadi untuk mendapatkan
laba maksimum perusahaan harus menjual produknya sebanyak 14 unit sehingga
keuntungan yang ia dapatkan sebesar Rp. 165.360.
DAFTAR
PUSTAKA
Dumairy. 1995.
Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi , Edisi Kedua. Yogyakarta:BPFE.
Insukindro. 1985. Soal
Jawab Matematika Ekonomi dan Bisnis. Yogyakarta: BPFE.
Modul Matematika Ekonomi
2. Lab. Manajemen Dasar Periode ATA 2013/2014.
Universitas
Gunadarma, Buku Diktat Matematika Ekonomi, 1994
Komentar
Posting Komentar